÷ƒ’Ą;č TeX output 1997.06.25:1603‹’’’’ l ż» ' ž&’Ŗč²óDÓķtG®G®cmr17¹A–7tG‘ų9odelian“PuzzleŸłŗÆó!",š cmsy10¾ŽŽŽŸ’½]ŠóX«Q cmr12ŗSelmer‘źØBringsjordŽŽŽŽŽŸ$‘?óDo“‹Ē cmr9ėDSuppAĒose–„¾there“is“a“macš¾9hine“óF©±Ź cmsy9ėFMŸ’’ó*¹AaØcmr6Õ0Ž‘ŠeėDwhic˜h“prin˜ts“out“v‘’|rarious“expressions“built“from“theޤ ‘?follo•¾9wing›T v“e˜sym“bAĒols:Ž”’Ö\BėF‘ŸžóE5łž" cmmi9ėEP‘WM‘ėD(‘8)Ž©‘?By–įˆan“óGt ‰: cmbx9ėGexpression“ėDwš¾9e“mean“an˜y“ nite“non-empt˜y“string“built“from“these“ v˜e“sym-Ž”‘?bAĒols.‘h(So›üėEP–HćP“P“P“P“P“M–ųäM“ėD((˜is˜an˜expression,‘Æęas˜is˜ėF‘_ŽėEP–HćėD(ėEP“ėD).)‘hAn˜expression˜is˜calledŽ”‘?ėGprin“Ctable–”ėDif“the“macš¾9hine“can“prin˜t“it.‘æ»W‘’:«e“assume“that“ėFMŸ’’Õ0ޑ˿ėDis“programmed“so“thatŽ”‘?anš¾9y–Texpression“it“can“prin˜t“will“bAĒe“prin˜ted“soAĒoner“or“later.Ž”‘NThe–Ü9ėGmirror“ėDof“an“expression“ėE“ėDis“the“expression“ėEėD(ėEėD)“|“e.g.,‘ē„the“mirror“of“ėEP‘Ś©ėF“ėDisŽ”‘?ėEP–Ś©ėF‘‘ĘėD(ėEP“ėFėD).‘pA–TėGsen“Ctence“ėDis“an“expression“haš¾9ving“one“of“the“follo˜wing“four“forms:ޤ‘KĪ>1.ŽŽŽ‘XėEP‘HćėD(ėEėD)ަ‘KĪ>2.ŽŽŽ‘XėEP‘HćM‘ųäėD(ėEėD)ަ‘KĪ>3.ŽŽŽ‘XėF‘‘ĘėEP‘HćėD(ėEėD)ަ‘KĪ>4.ŽŽŽ‘XėF‘‘ĘėEP‘HćM‘ųäėD(ėEėD)Ž”‘NėEP‘–šėDstands–M·for“\prin¾9table;"“ėEM‘F›ėDstands“for“\the“mirror“of"“and“ėF“ėDstands“(as“it“oftenޤ ‘?došAĒes–§^in“logic)“for“\not."“Hence“w¾9e“de ne“ėEP‘HćėD(ėEėD)“to“b˜e“ėGtrue“ėDi Ÿü-=Õ1ŽŽ‘ŅėE“ėDis“prin¾9table.‘÷ÉW‘’:«e“de neŽ”‘?ėEP›HćM‘ųäėD(ėEėD)–£ to“bAĒe“true“if“the“ėGmirror“ėDof“ėE“ėDis“prin¾9table.‘ŚW‘’:«e“call“ėF‘}śėEP˜ėD(ėEėD)“true“i “ėE“ėDis“notŽ”‘?prinš¾9table,–Tand“ėF‘‘ĘėEP‘HćM‘ųäėD(ėEėD)“is“de ned“to“bAĒe“true“i “the“mirror“of“ėE“ėDis“not“prin˜table.Ž”‘NW‘’:«e–Ėare“givš¾9en“that“the“mac˜hine“ėFMŸ’’Õ0Ž‘õÅėDis“accurate“in“that“all“sen˜tences“prin˜ted“b˜y“theŽ”‘?mac¾9hine–‹Pare“true.‘~cSo,›ØĪfor“example,˜if“the“macš¾9hine“ev˜er“prin˜ts“ėEP‘HćėD(ėEėD),‘ØĪthen“ėE“ėDreally“isŽ”‘?prinš¾9table–V(i.e.,‘ėE“ėDwill“bAĒe“prin˜ted“b˜y“ėFMŸ’’Õ0Ž‘FżėDsoAĒoner“or“later).‘1wAlso,‘if“ėEP‘HćM‘ųäėD(ėEėD)“is“prin˜table,Ž”‘?so–Tis“ėEM‘ųäėD(ėEėD).Ž”‘NSuppAĒose–õėE“ėDis“prinš¾9table.‘0RDo“w˜e“then“kno˜w“that“ėEP‘HćėD(ėEėD)“is“prin˜table?‘0RNo;‘Ehere's“wh˜y‘’:«.Ž”‘?If–?ėE“ėDis“prinš¾9table“then“ėEP‘HćėD(ėEėD)“is“certainly“óJ¼j‘¹ cmti9ėJtrueėD,‘Dbut“w˜e“are“not“giv˜en“that“the“mac˜hine“isŽ”‘?capable–0Łof“prinš¾9ting“ėJalxäl“ėDtrue“sen˜tences“|“only“that“the“mac˜hine“nev˜er“prin˜ts“an˜y“falseŽ”‘?ones.Ž”‘NėGQuestion‘ŒŹ1ėD:‘pIs–Tit“ėJpš‡ossible“ėDthat“the“mac¾9hine“ėJc˜an“ėDprinš¾9t“all“true“sen˜tences?‘pWh˜y?Ž”‘NėGAnsw“CerėD:‘póM/2iõ lasy9ėM2–TėDY‘’:«es;“ėM2“ėDNoŽ”‘NėGJusti cationėD:ŽŸ/"‘Lø±ėF›žŅóIߤN cmtt9ėISolution–¹–available“at“http://www.rpiscrews.us/ėFėIbrings/sl.html˜ėFŽ‘?Ÿ“-‰ff‰’vŸ @‘ ÷ˆŸż-:ó.q”% cmsy6ŁŽŽ‘LÜó)|{Ycmr8ŌAdapted–ĆŹslighšĆŽtly“from“Chapter“I‘Ìof“Ra˜y˜ond“Sm˜ully˜an's“(1992)“ó5#Ńfcmti8ąG‘ūœqodel's‘šInc„ompletenessŽŸ €Pr•„o“ofs–ÕXŌ(Oxford,“UK:“Oxford“Univ•ĆŽersit“y‘ÕXPress).ŽŸ Š>‘ "5Ÿż-:Õ1ŽŽŽ‘LÜŌT‘’JŖraditional–ÕXabbreviation“in“logic“for“`if“and“only“if.'ŽŽŸ’éóKń`y cmr10²1ŽŽŒų*ƒ’Ą;čl˜óM/2iõ lasy9óJ¼j‘¹ cmti9óIߤN cmtt9óGt ‰: cmbx9óF©±Ź cmsy9óE5łž" cmmi9óDo“‹Ē cmr9ó5#Ńfcmti8ó.q”% cmsy6ó*¹AaØcmr6ó)|{Ycmr8ó!",š cmsy10óX«Q cmr12óDÓķtG®G®cmr17óKń`y cmr10ł —ßßßßß